【BUAA-高代】矩阵相关问题讲课资料
发表于:2022-11-24 | 分类: 北航信息类大一资料
字数统计: 986 | 阅读时长: 3分钟 | 阅读量:50

朋辈辅导师第十二周直播课-矩阵相关典型问题的备课资料,大家有需要自取,备课本有点乱,建议配合视频一起食用。

资料在这->矩阵相关典型问题
有效期限:2025-11-11 23:59


分割线,下面是备课本


矩阵相关问题

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矩阵的基本盘

可逆定义定义及相关性质及求逆阵的方法

  • 可逆的定义及相关性质

    B,AB=BA=I,则称A为可逆阵,BA的逆阵,记作:A1=B

  • 性质:

    (ABC)1=C1B1A1(proof)
    行列式不为零则可逆
    ……

  • 逆阵唯一性

    AB=AC=IB=BI=B(AC)=(BA)C=C
  • 拓展唯一性例题的解法

    唯一性例题唯一性例题

    解法2解法2

  • 保可逆,反序可逆

    A可逆,B可逆,则AB可逆
    proof:ABB1A1=I
    若AB = I ,BA也可逆。

  • 求逆方法有三:增广,伴随,0化式(看见多项式赢麻啦)

    增广矩阵的机理
    伴随公式的引申
    0化式,关于矩阵的多项式,例题,关于特征多项式(Caley定理)

    0化式0化式

正交及相关性质

ATA=I,A1=AT,则称A为正交阵
性质:矩阵乘的转置,与矩阵乘的求逆类似

  • 保长、保内积、保正交

    我们知道向量的模长度公式是吧,对于列向量X,它的模长为||X||2=XTX(内积的表示),所以列向量AX(A为正交阵)||AX||2=XTATAX保长性
    保内积类似,(X,Y)=(AX,AY)=XTY
    保正交:两种理解:A正交,B正交,则AB正交XYAXAY

  • 线性变换初步

    线性变换与内积空间来理解, Gram阵

  • 每列为单位向量且相互正交,且则阵正交

    用矩阵乘法去理解。

矩阵的秩

秩的xdm

  • 阶梯阵概念,及其与向量组秩的联系。

    矩阵就是向量组拼起来的,所以矩阵的秩就是向量组的秩。
    我们在线性方程组的矩阵消元法中见识过,我们把一个矩阵变成阶梯状,我们考虑一下,变成阶梯状以后,后面的向量前缀都是零,所以不可能可以表示前面的向量,所以很简单,阶梯有多少阶,就会有多少秩。
    那么到底是行向量的秩还是列向量的秩呢,不用纠结我们通过阶梯可以看出,行向量的秩就是列向量的秩。
    所以三种同解变形,其实就代表着三种初等变换。

  • 秩一阵

    我们来看一个矩阵,秩一阵,可分解为两个向量之间的乘积。

  • 我们在最后再来谈秩的各种公式的关系

    • 满秩则有唯一解
      proof:∵r(A)=n
      {α1,,αn}可作为一组基
      βRn都会存在β的坐标(x1,,xn)
      坐标即为唯一解
    • 满秩则可逆
      proof:由上可知:AX1=ε1,AX2=ε2,,AXn=εn都有解
      所以AA1=I可解出A1=(X1,X2,,Xn)
  • 所以说到这就只需要明确一个事情,满秩,行向量组列向量组无关,行列式不等于0,可逆,只有唯一解,非奇异这都是等价的概念

各种各样的秩公式

分块秩公式

分块秩公式分块秩公式

积阵秩公式

  • 乘积不增秩公式
    不增秩公式不增秩公式
  • 积0公式
    积0公式积0公式
  • 转置积秩公式
    内积秩公式内积秩公式

加减秩公式

加减秩公式加减秩公式

奇妙的秩一阵

  • 用一个例题来说明
    秩一阵例题秩一阵例题

提一嘴先不讲

  • 秩一阵的特征值
  • 秩一阵+平移公式+特征值与行列式的关系

下降公式

换位公式例题换位公式例题

换位公式1.0

换位公式1换位公式1

换位公式2.0

换位公式2换位公式2

换位公式3.0及特征值(带拓展,看时间)

换位公式3换位公式3

奇妙的伴随阵

  • 伴随阵的定义
  • 伴随公式的推导
    伴随阵及相伴公式伴随阵及相伴公式

相关行列式值的推导

  • 相关行列式的值的计算
    相关行列式的值相关行列式的值

相伴秩公式

  • 古典秩定义
    相伴秩公式相伴秩公式
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