朋辈辅导师第九周直播课-向量空间和内积空间的备课资料，大家有需要自取。
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有效期限：2025-11-11 23:59
分割线，下面是备课本
向量空间与欧氏空间
- 高代的概念多的很啊，像我们的矩阵、线性方程组、还有向量，这些之间是一个什么关系呢，它们都统一的在空间这个框架里面被联系起来。所以在学习高代的时候一定要有一个意象化的空间的思想，这个思想对于大家好好的理解概念，会有很大的帮助。
提纲
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空间的定义
- 向量空间（线性空间）的原始定义：对加倍法封闭
- 性质：零元一定在空间里
- 拓展：矩阵空间，矩阵掰直就是向量
- 那我们来看，联系来了，AX=0的解集就构成空间
- 何以见得：证明对加倍法封闭
- 该怎么意象化的理解封闭：你们可以用三维空间来理解，空间是一定过原点的，所以在三维空间中一个过原点的平面是空间，这样的话，在平面上的向量怎么组合都跳不出这个平面，这就叫封闭，没过原点的平面上的向量（注意这里的向量顶点分别在原点和平面上）稍微*2就出去了。
从生成空间看到解空间
再次讨论齐次解与非齐次解
写出齐次方程的通解，基和广义坐标的关系，所以我们能看到解空间的影子
所以关于非齐次方程的解是否构成空间？
- 常见的问题：判断一个解是否为齐次方程或非齐次方程的解？
补充：齐次方程解与非齐次方程解之间的关系
补充：高三定理：一个非齐次线性方程组有解，且所有解组成的解集的一个极大线性无关组含有n个解（秩为n），那么对应的齐次线性方程组基础解系含有n-1个解向量（解空间的维度为n-1），这个命题对吗？
首先经过我上面的描述能证明：
导出方程的解空间的基+一个特解组成的向量组依然无关
然后：
通过非齐次方程组通解的表达形式可知，该解系中任意一个解都能用上面的无关向量组表示，所以我们说该向量组是极大线性无关组。
设这个无关组秩为n。
则根据构造形式，它的导出方程的解空间秩为n-1- 所以我们要说解空间了嘛？我知道你很急，但你先别急，让我先急（
- 我们先来说关于空间的另一种理解，这种理解了以后，关于解空间问题迎刃而解。
生成空间的定义
- 关于空间的另一个理解：生成空间！important！！
- 我们给定任意的一组向量，他们的线性组合，满足双封闭？事空间！
- 但是还不够简洁，我们远不需要这些向量的全部，因为我们可以由其中的某些来表示全部，这个大家是知道的，叫极大线性无关组，
- 所以我们有了另一个理解向量空间的视角：就好像是一个极大线性无关组的任意组合，它们生成了空间。我们把这个极大线性无关组叫做基，基的秩就是空间的维数。
- 空间相同，就是基等价！
解空间
- 所以我们回过头来看看解空间是个什么回事。
- 解空间就是由通解的基生成的。
- 解空间的维度：两种理解，一种理解是解线性方程组得到，另一种理解更高级和优雅，是定义完内积空间之后得到。
- 然后大家很迫切的想要弄清楚空间的交和空间的和之间的关系，定义我就不多说了
- 求空间的和：根据定义两边各取一个向量来表示，就把通解写到一块，所以为啥要理解了生成空间再来看这个，就是两个解空间的生成元放在一块，然后再生成一个空间嘛，所以对于维度公式我们也好理解了。
- 求两个解空间的交有两种办法，一种是定义，把他们的线性方程组联立到一起，这样解出来的空间就既满足A，又满足B。但是一般如果你刚开始知道基，你就很难去反解出他的线性方程组(得求正交，有点麻烦)，但是你可以直接输出两个解空间集合重合的部分，方法就像上面说的，把两个通解的一般形式放一块，划个等号，然后解出来系数之间的关系。把关系再代回去，就得到了他们交空间的通解的形式(这个通解既能通过A的基生成，又能通过B的基生成)
- 补充：空间的直和与空间的并。
欧氏空间的定义
- 我们理解了这么多以后其实还是会感觉有点空虚的，空虚在哪？关于解空间的维度我前面留了一个小坑，关于基本解与系数矩阵之间的关系若隐若现。
- 这一些，我们在定义完内积之后，也将得到解决。
- 我们常说的欧几里得空间就是内积空间，也就是加上内积的定义以后的向量空间！
内积与模长
- 关于内积是怎么定义的，大家早学过了，那么内积有些什么用呢
- 内积正定性，定义模长
- 正交向量的内积
- 若一个向量与一个向量组都正交，那么他与这个生成空间正交
- 所以我们可以来以另一个视角理解一下解齐次方程组：
- 我们把系数矩阵分行来看，我们把需要解的X乘过去的过程不就是在算他与每一行的内积嘛，它们的内积等于零，所以我们的解与系数矩阵的每一行都正交，所以我们的解空间是怎样的一个空间，是一个与A行向量生成的空间正交的空间，所以这也就不难解释，当A的秩为r，A行向量生成的空间的维数就是r，如果这是在一个总共为n的空间里，那我们的解空间与A空间正交，就有了dim = n-r的公式。这么去理解。
- 我们把系数矩阵分行来看，我们把需要解的X乘过去的过程不就是在算他与每一行的内积嘛，它们的内积等于零，所以我们的解与系数矩阵的每一行都正交，所以我们的解空间是怎样的一个空间，是一个与A行向量生成的空间正交的空间，所以这也就不难解释，当A的秩为r，A行向量生成的空间的维数就是r，如果这是在一个总共为n的空间里，那我们的解空间与A空间正交，就有了dim = n-r的公式。这么去理解。
Gram方阵
- 定义，所以易知是对称阵
- 行列向量都是一样的，我们这里只讨论列向量
- 我们想想，如果这些向量每一列都相互正交，Gram矩阵应该长什么样，变成了对角阵。
- 你再想想如果每一个向量都是单位向量，那对角线变成了什么样，单位矩阵！！！
- 所以我们换一个写法，把向量组拼成矩阵，这就是矩阵的乘法，不要说没学过，就是矩阵乘向量然后拼一块。
所以$ A^T A = I$, 这就是正交阵的定义！
矩阵乘法的定义和正交矩阵的定义就来了，不管你有没有学过，反正这讲完了就都应该学过了。
线性映射&线性变换（看时间，待定）
- 二维矩阵中的两个特殊的变换，旋转与反射。X向量乘上一个矩阵=另一个向量。
- 所以我们可以把乘矩阵理解成一种变换，这个很重要，前面大家可能接触过乘上可逆矩阵就是初等变换（行变列变），还有可能接触过过渡矩阵给空间的基做变换。
线性映射定义
- 所以我们可以粗浅的定义线性映射为乘矩阵，这种映射可以是$R^m \rightarrow R^n $的，特别的，我们把$R^n \rightarrow R^n $叫做线性变换
特殊-正交变换
- 更加特别的，我们把A矩阵是正交阵的这种叫做，正交变换
- 正交变换性质：保长保正交，所以体现出来就是单纯的旋转。
由Gram初见合同与二次型
