第六周备课本

我在私下里做了一个小调查哈，知道大家的各班的学习进度以及学习的顺序都不太一样，有的先开始学行列式，有的先开始学向量组，有的先开始学线性方程组，各班都不太一样，但考虑到这已经不是期中的内容了，而到期末呢，大家这些肯定都是要学的，所以我就按着我对于高代的学科体系构建的理解来讲这一次课，每个地方都会涉及到，大家在这个阶段能接受的内容我会多讲，然后后面的内容呢我会随着体系的构建把这些知识给逐步的完善。
对于这些内容呢，已经学过的同学加深一遍印象，没有学过的同学呢，我会浅处着手，再来深入，大家也当预习+学习。大家有什么问题的话，也请及时反馈，可以实时在聊天区表示疑惑，可以在直播的最后填写学支中心的反馈二维码。
我对我们的学习进度简要的设计了一下，我会在9、12、15周带来常规的三次直播，当然期中期末的时候也会有串讲，这是我的暂定进度，大家可以参考一下。

直播时间	直播主题
第三周	空间解析几何基础
第六周	从线性方程组到矩阵
第九周	向量空间与欧式空间
第十二周	特征根与相似变换
第十五周	二次型与合同变换

我和另外一位辅导师一起做高代的直播，我们的安排呢大致就是我给大家过一遍知识点，然后他来给大家讲解例题。

我们今天呢来讲四个概念，线性方程组、向量组、行列式，这几个东西呢，相互交汇，相互依存，很多概念，大家要将他们统一到自己的知识体系结构中，不能学乱了。

线性方程组

线性方程组的表示

向量表示
矩阵表示

线性方程组的求解

三类初等变换，同解变形
消元法与矩阵消元法

齐次方程与非齐次方程

解的讨论（联系我上次课讲的，维度与约束条件的概念，其实也就是解空间的维度与秩的关系）
- 我们方程组的解的几何意义就是在高维空间中超平面的交线
- 齐次方程一定有解（0解）
- 当齐次方程的秩小于n时，有无穷多解（多维解空间）
- $非齐次方程AX = B有解\Leftrightarrow r(A) = r(A|B) $
- 无解显而易见
解的联系
- 齐次方程通解的形式
- 非齐次方程的解：
  
  $\forall X, Y是AX = \beta 的解，则AX= \beta ,AY = \beta ,两式相减，A(X-Y) = 0,即X-Y为AX= 0方程的解。 $
  $\therefore 若AX= \beta 有解Y_0，则对于方程的解X，X-Y_0 = t_1\varepsilon_1 + …… + t_{n-r}\varepsilon_{n-r}$
  得到非齐次方程的通解
- $XA = B $的求解问题
- 给出非齐次方程的特解，相减构造导出方程的基，通过A的秩判断解空间的维度，算出通解。
- 判断X是否为 $AX = \beta $ 的解：代入即可

向量组

n维向量的定义与意义

首先带着一种对于我们能够感知到的三维的向量的认识去看这件事，升到n维以后，空间性质肯定还是存在，就比如说我们讨论的齐次方程与非齐次方程的解，其实就是一个讨论高维空间中超平面的交线的问题。
函数参数，写程序等等，函数传入了6个参数，其实就是构造了一个6维的空间，所以说我们生活在一个3维的空间里，这个维度是长宽高。但我们带着一种多面多元的视角去看世间，多维空间随处可见。

线性相关与线性无关

$定义：对于一组向量\{\alpha_1, \alpha_2, ……, \alpha_n \}，若有一组k_n,与向量相乘加等于0，则k_1 = k_2 = …… = k_n = 0 , 则称\{\alpha_1, \alpha_2, ……, \alpha_n\}线性无关$
- 联想一下，我们第一章的不共面定理不共线定理怎么说的。
- 所以相应的，不满足就是线性相关
- 光看这个定义，有点抽象，看不出什么来。
相关性质
- 相关的线性表示（及其逆，单边法则）
  
  由线性相关的定义可推出，其中某个向量可以由其余向量线性表示，这又可推出其中的某个向量可以写成前面的向量的线性组合。
  所以我们逆过来看，线性无关，等价于
  $每一个向量都不可由前面的向量表示（\alpha_i = 0） $
  这我们叫做单边法则
- 大数法则/不大法则
  
  我们先来看，一个向量组被另一个向量组表示被表示的意义。
  $S_1组被S_2组表示\Leftrightarrow \forall \alpha_i \in S_1 , \alpha_i 可以被 \beta_j \in S_2 表示 $
  大的向量组可以被小的向量组表示，大组必相关
  （逆否命题：若A组无关，但可以被B组表示，则A比B小 ——不大法则）
  为啥可以被表示，我们可以理解了后面的秩再来说，是不是说AX=B有解啊。
- 表示的传递性
  
  $我们说S_2 能被S_1表示，S_1能被S_0表示，则S_2能被S_0表示$
- 唯一表示法则
  
  $\{\alpha_1,……,\alpha_n\}无关,\{\alpha_1,……,\alpha_n,\beta\}相关，则\beta 由\{\alpha_1,……,\alpha_n\}唯一表示 $
- 子组相关法则
  
  子组相关，全组必定相关
  proof:
  $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 +……+k_p\alpha_p = 0 (k_1,……,k_p不全为零) $
  $\therefore k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 +……+k_p\alpha_p + 0\alpha_{p+1} + …… + 0\alpha_n = 0$
- 等数法则
  
  $\{\alpha_1,……\alpha_p\},\{\beta_1,……\beta_q\}两组无关，且能相互表示，则p=q $
  由不大法则可证
- 长短法则
  
  长相关则短相关，短无关则长无关
  看具体怎么理解了，有的老师说“如果矩阵A的子矩阵A0的各行（列）线性无关，则由A0的这些行（列）扩充得到的A的行（列）线性无关。”
  这是从大到小，从矩阵看问题
  也可以这么理解（从小到大，从向量组）：
这些是不是很难理解又臭又长，高等代数是一门极为统一连贯的科目，所以我们由表及里，定义了极大线性无关组，来帮助我们更好的理解线性相关与线性无关。
极大线性无关组
- 定义：我们定义在全组中如果有一个子组线性无关，再加上其他任意一个元素，就会线性相关，我们称之为极大无关。
- 所以由唯一表示法则可以知道，全组中的其余元素均可由极大无关组唯一表示。
- 我们来定义一个等价的概念
  
  $S_1，S_2相互表示，则S_1等价于S_2 $
  所以极大无关组与全组等价，且由于表示的传递性，任意两个极大组之间等价。
  所以由于等数法则，任意两个极大组之间具有相同的个数。
- 定义秩rank
  
  这样，我们就可以来定义向量组的秩了，我们就定义极大无关组中元素的个数叫做秩。
  $所以在一个n维空间R^n，我们可以把它看作是一个有无限多向量的向量组，$
  $那么的它秩是什么，我们选取一组标准正交基（坐标系的坐标，可以用三维来理解），$
  $是不是说，再这个标准正交基外任意找一个向量，这个向量都能被这组向量表示啊，$
  $所以rank(R^n) = n $
  那我们继续想，我不必选择标准正交基是吧，我任意选n个线性无关的向量，他们是不是也是一个极大无关组啊，所以他们也能当作是基。
- 秩与相关性的联系
空间的基与解空间（略讲，联系着前面线性方程组来讲）
- 由极大组引出基向量组的概念
  
  是不是隐隐约约感觉这个秩和维度应该是有点关系的
  所以我们可以用一个极大无关组来作为一组基。
  在这个空间的其他向量都被它们表示，怎么表示，我就可以定义出广义坐标。
  …
  但注意，这里的向量组是有序的，改变顺序，坐标就会变。
- 有序无关组与广义坐标
- 线性方程组的解由基来表示
  
  所以，你们看过这些以后再来看线性方程组，以及它的解，是不是也就是用坐标来表示，它们的通解的表达形式中仿佛看到了基的出现，所以它们是不是也构成空间？这个我们点到为止，下次课我在来拿出空间和你们细说。
我们用前面的相关性质来证明和定义了极大组与秩，我们再用秩的定义来更好的理解前面的这些性质与相关和无关的深入理解。
很简单，记住两条。
一个向量组的元素个数比秩大，就线性相关，等于秩就线性无关。
一个向量组被另一个向量组表示，就是说能被另一个组生成，所以秩肯定不会变大。
所以我们再来理解这些东西

矩阵

矩阵只是记号，向量拼一块就是矩阵

矩阵的运算
- 主要就是乘法及其运算性质
- 我们能看到这个直接定义并不好看。所以我更推荐大家按照下面这种理解。
- 矩阵分块
  
  我们在线性方程组的矩阵表示方法中已经看到AX是怎么定义的。
  所以我们可以推广，把B这个矩阵按列分块成$(\beta_1,……,\beta_q),则AB = (A\beta_1, A\beta_2 , ……,A\beta_q) $
- 所以得匹配才能乘，大家也能看出来其中的性质AB != BA 这种
- 但是特殊情况，方阵，单位阵。
矩阵的可逆与正交
- 可逆的定义及相关性质
  
  $若\exists B,AB=BA=I，则称A为可逆阵，B为A的逆阵,记作：A^{-1} = B $
- 性质：
  $(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} $(proof)
  行列式不为零则可逆
  ……
  - 逆阵唯一性 $AB =AC =I 则B = BI = B(AC) = (BA)C = C$
  - 保可逆，反序可逆
    A可逆，B可逆，则AB可逆
    $proof: ABB^{-1}A^{-1} = I $
    若AB = I ，BA也可逆。
- 正交的定义及其相关性质
  $A^TA = I,即A^{-1} = A^T,则称A为正交阵 $
  性质：矩阵乘的转置,与矩阵乘的求逆类似
  - 保长、保内积、保正交
    $我们知道向量的模长度公式是吧，对于列向量X，它的模长为||X||^2 = X^TX(内积的表示) ，所以列向量AX(A为正交阵)为||AX||^2 = X^TA^TAX ——保长性$
    $保内积类似，(X,Y) = (AX,AY) = X^TY $
    $保正交:两种理解：
    A正交，B正交，则AB正交
    X \perp Y \Leftrightarrow AX \perp AY $
  - 线性变换初步
    所以我们从三维来理解一下，一个向量乘上一个矩阵后，变了，但是长度没变，两个向量之间的内积没变，两个向量该垂直的垂直，所以我们把这种变换，保长保内积保正交的变换，叫做线性变换/正交变换，矩阵又有了它的另一层含义。
  - 每列为单位向量且相互正交，且则阵正交
    用矩阵乘法去理解。
矩阵的秩
- 阶梯阵概念，及其与向量组秩的联系。
  
  矩阵就是向量组拼起来的，所以矩阵的秩就是向量组的秩。
  我们在线性方程组的矩阵消元法中见识过，我们把一个矩阵变成阶梯状，我们考虑一下，变成阶梯状以后，后面的向量前缀都是零，所以不可能可以表示前面的向量，所以很简单，阶梯有多少阶，就会有多少秩。
  那么到底是行向量的秩还是列向量的秩呢，不用纠结我们通过阶梯可以看出，行向量的秩就是列向量的秩。
  所以三种同解变形，其实就代表着三种初等变换。
- 秩一阵
  
  我们来看一个一点的矩阵，秩一阵，可分解为两个向量之间的乘积。
- 降秩定理
  
  $r(AB) \le r(A) , r(B) (用AB被A表示证明一边，用转置证明另一边)$
- 满秩、方程组解、可逆之间的关系
  - 满秩则有唯一解
    $proof: \because r(A) = n $
    $\therefore \{\alpha_1,……,\alpha_n\}可作为一组基 $
    $\therefore \forall \beta \in R^n 都会存在\beta 的坐标(x_1,……,x_n) $
    $坐标即为唯一解 $
  - 满秩则可逆
    $proof: 由上可知：AX_1 = \varepsilon_1, AX_2 = \varepsilon_2,……,AX_n = \varepsilon_n 都有解$
    $所以AA^{-1} = I可解出A^{-1} = (X_1,X_2,……,X_n) $

行列式（看时间待定）

行列式的定义
- 逆序数
余子式与余子阵
行列式的计算
- 对角阵
- 余子阵展开
相伴逆公式，克莱姆法则
- 理解其与秩、可逆，方程组解之间的关系

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第六周备课本

线性方程组

线性方程组的表示

线性方程组的求解

齐次方程与非齐次方程

向量组

n维向量的定义与意义

线性相关与线性无关

矩阵

行列式（看时间待定）